题目内容
15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，点A（3a，2a）在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接OA，S△AOB=12．点M从点O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发，沿射线BO以每秒3个单位长度的速度运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接AM，AN，MN．（1）求a的值；
（2）当0＜t＜2时，
①请探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之间的数量关系，并说明理由；
②试判断四边形AMON的面积是否变化？若不变化，请求出；若变化，请说明理由．
（3）当OM=ON时，请求出t的值及△AMN的面积．
分析 （1）根据三角形面积公式可以求出a．
（2）①如图1作NH∥AB即可证明；②根据S四边形AMON=S梯形ABOM-S△ANB=$\frac{1}{2}$（OM+AB）•OB-$\frac{1}{2}•BN•AB$计算即可．
（3）分两种情形：①点N在原点左边；②点N在原点右边考虑．
解答 解：（1）
∵S△AOB=12，
∴$\frac{1}{2}$•3a•2a=12，
∴a2=4，
∵a＞0，
∴a=2．
（2）当O＜t＜2时，①结论：∠MNA=∠NMO+∠NAB，理由如下：
作NH∥AB，
∵AB⊥x轴，
∴OM∥AB∥NH，
∴∠MNO=∠MNH，∠NAB=∠HNA，
∴∠MNA=∠NMO+∠NAB．
②结论：S四边形AMON=12，理由如下：
由题意BN=3t，OM=2t，OB=6，AB=4，
∵S四边形AMON=S梯形ABOM-S△ANB=$\frac{1}{2}$（OM+AB）•OB-$\frac{1}{2}•BN•AB$=，$\frac{1}{2}（2t+4）•6-\frac{1}{2}•3t•4$=6t+12-6t=12．
∴四边形AMON的面积不变．
（3）∵OM=ON，
∴2t=6-3t或2t=3t-6
∴t=$\frac{6}{5}$或6，
t=$\frac{6}{5}$时，OM=$\frac{12}{5}$，BN=$\frac{18}{5}$，ON=$\frac{12}{5}$，
∴S△AMN=S△AOM+S△AON-S△MON=$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$•6+$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$•4-$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$$•\frac{12}{5}$=$\frac{228}{25}$．
当t=6时，如图2，OM=ON=12，
∴S△AMN=S△MON+S△OMA-S△ANO=$\frac{1}{2}×12×12+\frac{1}{2}×12×6-\frac{1}{2}×12×4$=84．
点评 本题考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形、四边形的面积的有关知识，学会用分割法求三角形面积．
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案| A． | $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$ | C． | $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-4\end{array}\right.$ |
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