Question

8．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯脚B到墙壁OC的距离为OB=0.7米，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A′时，点B沿水平地面向外滑动到B′点．
（1）当AA′=0.4米时，线段AA′的长度与线段BB′的长度相等吗？你是怎样知道的？
（2）能否存在一个点A′，使AA′=BB′？若存在，求出点A′的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）线段AA′的长度与线段BB′的长度不相等．在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，在Rt△A′OB′中，利用勾股定理求出OB′，根据BB′=OB′-OB即可解决问题．
（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）²+（2.4-x）²=2.5²，解方程即可．

解答 解：（1）线段AA′的长度与线段BB′的长度不相等．
理由：在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，AB=2.5，OB=0.7，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-0．{7}^{2}}$=2.4，
∵AA′=0.4，
∴OA′=OA-AA′=2，
在Rt△A′OB′中，∵∠A′OB′=90°，OA′=2，A′B′=2.5，
∴OB′=$\sqrt{A′B{′}^{2}-OB{′}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-{2}^{2}}$=1.5，
∴BB′=OB′-OB=1.5-0.7=0.8，
∴线段AA′的长度与线段BB′的长度不相等．

（2）存在．
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有（x+0.7）²+（2.4-x）²=2.5²，
解得：x₁=1.7或x₂=0（舍）．
所以当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
此时AA′=1.7米．

点评 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．