Question

3．已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．
（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF=DE；
（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根据HL可证得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得结论；
（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE=BF-EF，同（1）：证明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF-FC得出结论．

解答 证明：（1）如图①，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵∠ACB=∠AEF=90°，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴BF+EF=BF+CF=BC，
∴BF+EF=DE；
（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE=BF-EF，理由是：
连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵∠E=∠ACF=90°，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴DE=BC=BF-FC=BF-EF，
即DE=BF-EF．

点评 本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论．