Question

4．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得B、C的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；
（2）如图1所示：先求得抛物线的对称轴方程则可得到OD的长，然后依据勾股定理可求得CD的长，然后可求得点P和点P′的坐标，然后过点C作CE⊥对称轴，垂足为E，然后依据等腰三角形的性质可得到DE=OC=2，故此可得到点P″的坐标；
（3）设点F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），则E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），则FE=-$\frac{1}{2}$a²+2a，然后可得到△CBF的面积与a的函数关系式，从而可得到△CBF的最大值，从而可确定出点E的坐标，最后依据四边形CDBF的最大面积=△CBD的面积+△BCF的最大面积求解即可．

解答 解：（1）令直线y=-$\frac{1}{2}$x+2中，y=0得：-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=4，
∴B（4，0）．
令x=0得：y=2，
∴C（0，2）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入得：-4a=2，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如图2所示：

抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$．
又∵OC=2，
∴DC=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
当PD=DC时，P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
当P′D=CD时，P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
过点C作CE⊥对称轴，垂足为E．
又∵CP″=CD，
∴CE=EP″．
∵DE=CO=2，
∴DP″=4．
∴P″（$\frac{3}{2}$，4）．
∴点P的坐标为P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或P″（$\frac{3}{2}$，4）．
（3）如图2所示．

∵△CBD的面积为定值，
∴△CBF的面积最大时，四边形的面积最大．
设点F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），则E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），则FE=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴△CBF的面积=$\frac{1}{2}$OB•EF=-a²+4a=-（a-2）²+4．
∴E（2，1），△CBF的最大面积为4．
∴四边形CDBF的最大面积=△CBD的面积+△BCF的面积=$\frac{1}{2}$BD•OC+4=6.5．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的性质、二次函数的性质，依据题意列出△CBF的面积与a的函数关系是解答本题的关键．