题目内容
（2013•工业园区模拟）如图，⊙O的半径长为5，OC垂直弦AB于点C，OC的延长线交⊙O于点E，与过点B的⊙O的切线交于点F，已知CE=x．（l）若x=2，求AB、BF的长；
（2）求EF•CO2的最大值．
分析：（1）利用切线的性质以及勾股定理得出AB的长，进而利用△BOC∽△OBF，得出即可；
（2）首先得出△BCO∽△FCB，进而用x表示出FC的长，即可利用二次函数最值求法得出即可．
（2）首先得出△BCO∽△FCB，进而用x表示出FC的长，即可利用二次函数最值求法得出即可．
解答：解：（1）EC=2，则CO=5-2=3，
∵CO⊥AB，
∴AB=2CB，在Rt△BCO中，BO=5，
∴BC=
=
=4，
∴AB=8，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，在△BOC和△OBF中
∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC∽△OBF，
∴
=
，
∴
=
，
解得：BF=
；
（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，
∴△BCO∽△FCB，
∴
=
，
∴BC2=OC×FC，
∵OC=5-x，OB=5，
∴BC2=BO2-CO2=25-（5-x）2，
∴25-（5-x）2=CO×FC=（5-x）×FC，
∴FC=
，
∴EF×CO2=（FC-EC）×CO2
=（
-x）（5-x）2
=5x（5-x）
=5[-（x-
）2+
]
=-5（x-
）2+
，
∴EF×CO2的最大值为
．
∵CO⊥AB，
∴AB=2CB，在Rt△BCO中，BO=5，
∴BC=
| OB2-OC2 |
| 52-32 |
∴AB=8，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，在△BOC和△OBF中
∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC∽△OBF，
∴
| OC |
| BO |
| BC |
| BF |
∴
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| BF |
解得：BF=
| 20 |
| 3 |
（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，
∴△BCO∽△FCB，
∴
| BC |
| OC |
| FC |
| BC |
∴BC2=OC×FC，
∵OC=5-x，OB=5，
∴BC2=BO2-CO2=25-（5-x）2，
∴25-（5-x）2=CO×FC=（5-x）×FC，
∴FC=
| 10x-x2 |
| 5-x |
∴EF×CO2=（FC-EC）×CO2
=（
| 10x-x2 |
| 5-x |
=5x（5-x）
=5[-（x-
| 5 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
=-5（x-
| 5 |
| 2 |
| 125 |
| 4 |
∴EF×CO2的最大值为
| 125 |
| 4 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，根据已知得出△BCO∽△FCB，进而表示出FC的长是解题关键．
练习册系列答案
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