Question

（2013•工业园区二模）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．当线段AM最短时，重叠部分的面积是

96

25

．

Answer 1

分析：先根据相似三角形的判定定理得出△ABE∽△ECM，设BE=x，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM的表达式继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．

解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM，
设BE=x，
∴

CM

BE

=

CE

AB

，即

CM

x

=

6-x

5

，
∴CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴AM=5-CM=

1

5

（x-3）²+

16

5

，
∴当x=3时，AM最短为

16

5

，

又∵当BE=x=3=

1

2

BC，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=

52-32

=4，此时EF⊥AC，
∴EM=

CE2-CM2

=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
∴S_△AEM=

1

2

AM•EM=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．
故答案为：

96

25

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及二次函数的最值问题，在解答此题时要注意数形结合思想与函数思想的应用．