Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，过点C作直线CD⊥AB于点D，弦CF与AB交于点E，弦BF与直线CD交于点G．已知BG=2，GF=4，求：BC的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：根据条件可得出∠BCG=∠F，可证得△BCG∽△BFC，再根据相似三角形的性质可得

BG

BC

=

BC

BF

，代入可求得BC．

解答：解：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCG=90°，
∵∠BCG=∠A，
又∵∠A=∠F，
∴∠BCG=∠F，且∠CBG=∠FBC，
∴△BCG∽△BFC，
∴

BG

BC

=

BC

BF

，
∵BG=2，GF=4，
∴BF=BG+GF=6，
∴

2

BC

=

BC

6

，
∴BC=2

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据条件证得△BCG∽△BFC是解题的关键．