Question

10．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连接BP，交CE于点H．
（1）若∠PBA：∠PBC=1：2，判断△PBC的形状并说明；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形得出∠ABC=90°，求出∠OBC=60°，根据折叠得出PC=BC，根据等边三角形的判定得出即可；
（2）根据折叠得出BE=PE，求出∠1=∠2，求出AE=PE，推出∠3=∠4，根据三角形内角和定理求出∠2+∠3=90°，求出AF∥CE，根据平行四边形的判定得出即可．

解答 （1）解：△PBC是等边三角形，
理由是：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠PBA：∠PBC=1：2，
∴∠OBC=60°，
∵沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，
∴PC=BC，
∴△PBC是等边三角形；

（2）证明：
∵根据折叠得出△EBC≌△EPC，
∴BE=PE，
∴∠1=∠2，
∵E为AB的中点，
∴BE=AE，
∴AE=PE，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴BP⊥AF，
∵对折矩形ABCD，
∴BP⊥CE，
∴AF∥CE，
∵根据矩形ABCD得：AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．

点评 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定，平行四边形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．