题目内容
如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．
分析：（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；
（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．
（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．
解答：证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，
∴
=
=
．（2分）
又∠AOB=∠DOC，（2分）
∴△AOB∽△DOC．（2分）
（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO=∠DCO．（1分）
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO．（1分）
∴∠DCO=∠EDO．（1分）
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD．（1分）
∴
=
．（1分）
∴OD2=OE•OC．（1分）
∴
| OA |
| OD |
| OB |
| OC |
| 1 |
| 2 |
又∠AOB=∠DOC，（2分）
∴△AOB∽△DOC．（2分）
（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO=∠DCO．（1分）
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO．（1分）
∴∠DCO=∠EDO．（1分）
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD．（1分）
∴
| OD |
| OE |
| OC |
| OD |
∴OD2=OE•OC．（1分）
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质一直是中考考查的热点之一，注意找准对应角和对应边．
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