Question

9．如图，△ABC的边长BC=24，高AD=8，矩形EFGH的边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，相邻两边EF，FG的比为1：3．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个矩形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出EH∥BC，EH=FG，即可证出△AEH∽△ABC；
（2）设EF=k，EH=FG=3k，则AK=8-k，由相似三角形的性质得出比例式求出k值，得出EF、EH的长，最后求得四边形EFGH的面积．

解答 （1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，EH=FG，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：设EF=k，EH=FG=3k，则AK=8-k，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
即$\frac{3k}{24}=\frac{8-k}{8}$，
解得：k=4，
∴EH=4，EH=12，
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=4×12=48

点评 本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质和判定，明确相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．