题目内容

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（2）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC= $\text{[math]}$ =4，
得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴在点P从C向A运动的过程中，△APQ的面积S= $\text{[math]}$ （3-t）• $\text{[math]}$ ；
（2）能．
①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．

∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．解得 $\text{[math]}$ ；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．

解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；
（2）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t．
点评：本题考查了相似三角形的判定定理，线段比的有关知识，利用二次函数的相关知识以及实际应用相结合，同时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大．