题目内容
10．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到这所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
（2）当t为多少秒时，Rt△CPQ的面积S是△ABC面积的$\frac{1}{6}$；
（3）如图2，CD⊥AB，当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ADC相似？
分析 （1）首先根据题意表示出线段CP与CQ的长，再由t=3，可求得线段CP与CQ的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点之间；
（2）首先由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，求得△ABC的面积，再由（1），可表示出Rt△CPQ的面积，即可得方程-4t2+20t=150×$\frac{1}{6}$，继而求得答案；
（3）首先求得△ACD各边的长，再分别从当$\frac{CP}{AD}=\frac{CQ}{CD}$时，△PCQ∽△ADC与当$\frac{CP}{CD}=\frac{CQ}{AD}$时，△PCQ∽△CDA，去分析求解即可求得答案．
解答 解：（1）根据题意得：AP=4tcm，CP=AC-AP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，
则当t=3秒时，CP=8cm，CQ=6cm，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=10（cm），
即当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=150（cm2），
∵S△CPQ=$\frac{1}{2}$CP•CQ=$\frac{1}{2}$×（20-4t）×2t=-4t2+20t（cm2），且Rt△CPQ的面积S是△ABC面积的$\frac{1}{6}$
∴-4t2+20t=150×$\frac{1}{6}$，
解得：t1=t2=$\frac{5}{2}$，
∴当t为$\frac{5}{2}$秒时，Rt△CPQ的面积S是△ABC面积的$\frac{1}{6}$；
（3）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=25cm，
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=12cm，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=16cm，
∵∠PCQ=∠ADC=90°，
∴当$\frac{CP}{AD}=\frac{CQ}{CD}$时，△PCQ∽△ADC，
此时$\frac{20-4t}{16}=\frac{2t}{12}$，解得：t=3，
当$\frac{CP}{CD}=\frac{CQ}{AD}$时，△PCQ∽△CDA，
此时$\frac{20-4t}{12}=\frac{2t}{16}$，解得：t=$\frac{40}{11}$，
∴当t为3或$\frac{40}{11}$秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ADC相似．
点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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