Question

【题目】如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为直线BD，CE的交点．

（1）如图，将△ADE绕点A旋转，当D在线段CE上时，连接BE，下列给出两个结论：①BD＝CD+AD；②BE2＝2（AD2+AB2）．其中正确的是　 　，并给出证明．

（2）若AB＝4，AD＝2，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC＝90°时，求PB的长；

②旋转过程中线段PB长的最大值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①，证明详见解析；（2）①PB＝；②2+2．

【解析】

（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出结论；

（2）分两种情形当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝2．由△PEB∽△AEC，得，由此即可解决问题；当点E在BA延长线上时，BE＝6．解法类似；

②如图3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可；

（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，

∴AE＝AD，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，DE＝AD，

∴∠DAB＝∠EAC，且AE＝AD，AB＝AC，

∴△AEC≌△ADB（SAS）

∴BD＝CE＝DE+CD，

∴BD＝CD+AD，

∴①正确，

∵BD⊥CE，

∴BE2＝BD2+DE2，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，

∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，

∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），

∴②错误．

故答案为①；

（2）①图1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝2．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝＝2，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠PEB＝∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴，

∴

∴PB＝．

如图2中，当点E在BA延长线上时，BE＝AB+AE＝6．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝＝2，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠BEP＝∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB＝，

综上，PB＝或；

②如图3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC＝＝＝2，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝2，

∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD＝AE＝2，

∴PB＝BD+PD＝2+2，

综上所述，PB长的最大值是2+2，

故答案为：2+2．