Question

二次函数y=一x²+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.

（1）则的形状为                 ；
（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为                     .

Answer 1

试题分析：（1）∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．
（2）在（1）题已将证得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．
解：（1））∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，由题意，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：
∴C（0，1），
∴，
CB2＝BO²+CO²＝5，
，
∴AC²+CB²＝AB²，
∴△ACB是直角三角形；
（2）存在，点或；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：；

设过点B且平行于AC的直线的解析式为，
将点代入得：，；
∴；
联立抛物线的解析式有：，解得，或；
∴点；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得；
故当或时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）