Question

16．如图，线段AB是⊙O的弦，点P在⊙O上（点P不与点A、点B重合），连接AP、BP，若将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，则∠APB的大小为60°或120度．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA、OB、AC、BC，如图，利用折叠性质得AB垂直平分OC，则利用垂径定理得到OC垂直平分AB，所以可判断四边形ACBO为菱形，易得△AOC和△BOC都是等边三角形，则∠AOC=∠BOC=∠ACO=∠BCO=60°，所以∠AOB=∠ACB=120°，然后讨论：当点P在优弧AB上，则∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°；当点P在劣弧AB上，则∠APB=∠ACB=120°．

解答 解：作OD⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA、OB、AC、BC，如图，
∵⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴AB垂直平分OC，
∴OC垂直平分AB，
∴四边形ACBO为菱形，
∴OA=OB=AC=BC，
∴△AOC和△BOC都是等边三角形，
∴∠AOC=∠BOC=∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠AOB=∠ACB=120°，
当点P在优弧AB上，则∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°；
当点P在劣弧AB上，则∠APB=∠ACB=120°．
故答案为60°或120．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．