Question

如图：AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O，
（1）求证：BE=BF；
（2）求证：OF=

1

2

CE．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质可求得∠ABE=∠AOF=90°，由于AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，根据等角的余角相等即可求得∠AFO=∠AEB，根据对顶角相等即可求得∠BFE=∠AEB，根据等角对等边即可证得BE=BF；
（2）连接O和AE的中点G，根据三角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG=

1

2

CE，根据平行线的性质即可求得∠OGF=∠FEB，从而证得∠OGF=∠AFO，根据等角对等边即可证得OG=OF，进而证得OF=

1

2

CE．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABE=∠AOF=90°，
∵∠CAE=∠BAE，
∴∠AFO=∠AEB，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BE=BF．

（2）证明：连接O和AE的中点G，
∵AO=CO，AG=EG，
∴OG∥BC，OG=

1

2

CE，
∴∠OGF=∠FEB，
∵∠AFO=∠AEB，
∴∠OGF=∠AFO，
∴OG=OF，
∴OF=

1

2

CE．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，三角形的中位线定理等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．