Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为$2\sqrt{3}$，则a的值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过P点作PE⊥AB于E，过P点作PF⊥x轴于F，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DF即可解决问题．

解答 解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PF⊥x轴于F，交AB于D，连接PA．
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，PA=2，
∴PE=$\sqrt{P{B}^{2}-E{B}^{2}}$=1，
∵点D在直线y=x上，
∴∠AOF=45°，
∵∠DFO=90°，
∴∠ODF=45°，
∴∠PDE=∠ODF=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
∴PD=$\sqrt{2}$．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴点D的横坐标为2，
∴OF=2，
∴DF=OF=2，
∴a=PD+DF=2+$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题综合考查了一次函数，切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．