Question

已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

Answer 1

分析：要求矩形PNDM的面积，应设DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积为S=xy，再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解．

解答：解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，
则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），
易知CN=4-x，EM=4-y，
且有

NP-BC

CN

=

BF

AF

（1分），
即

y-3

4-x

=

1

2

，
∴y=-

1

2

x+5（2分），
S=xy=-

1

2

x²+5x（2≤x≤4）（3分），
此二次函数的图象开口向下（4分），
对称轴为x=5（5分）
∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大（6分）
对2≤x≤4来说，
当x=4，即PM=4时，S有最大值（7分）
S_最大=-

1

2

×4²+5×4=12（8分）．

点评：此题综合考查比例线段、二次函数等知识．解决此题的关键在于在AB上找一点P，转变为求PM、PN的值．