Question

如图，已知边长为a的正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC交于点O，且AE=CF．
（1）若a=4，则四边形EBFD的面积为

 

；
（2）若AE=

1

3

AB，求四边形ACFD与四边形EBFD面积的比；
（3）设BE=m，用含m的式子表示△AOE与△COF面积的差．

Answer 1

分析：（1）由AE=CF，∠EAD=∠FCD，AD=CD，得△DAE≌△DCF，即四边形EBFD的面积与正方形ABCD的面积相等，且为16；
（2）梯形ACFD的面积可根据公式直接求出，四边形EBFD的面积可根据S_{四边形EBFD}=S_{四边形EBCD}+S_△CFD=S_{四边形EBCD}+S_△AED计算；
（3）△AOE与△COF的面积差，即为△ABC与△EBF的面积差．根据所给条件可以直接求得△ABC与△EBF的面积．

解答：解：（1）∵AE=CF，∠EAD=∠FCD，AD=CD，
∴△DAE≌△DCF，
∴四边形EBFD的面积=正方形ABC的面积=4²=16；

（2）CF=AE=

1

3

AB=

a

3

，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD=AB=a，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD∥BC，
∴S_{四边形ACFD}=

(CF+AD)CD

2

=

( a 3 +a)a

2

=

2a2

3

，
S_{四边形EBFD}=S_{四边形EBCD}+S_△CFD=S_{四边形EBCD}+S_△AED=S_{正方形ABCD}=a²，
∴S_{四边形ACFD}：S_{四边形EBFD}=

2a2

3

：a²=2：3；

（3）CF=AE=a-m，FB=a+a-m=2a-m，
由（2）知∠ABC=90°，AB=BC，可得，
S_△AOE+S_{四边形EOCB}=S_△ABC=

AB2

2

=

a2

2

，
S_△COF+S_{四边形EOCB}=S_△EBF=

EB•FB

2

=

m(2a-m)

2

=

2am-m2

2

，
∴S_△AOE+S_{四边形EOCB}-（S_△COF+S_{四边形EOCB}）=

a2

2

-

2am-m2

2

=

a2-2am+m2

2

，
即S_△AOE-S_△COF=

a2-2am+m2

2

．

点评：综合正方形性质与三角形全等解题，要求思维灵活，擅于变通．