Question

（2013•桂林）如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）

• A．y=2x+1
• B．y=

  1

  2

  x-2x²
• C．y=2x-

  1

  2

  x²
• D．y=2x

Answer 1

分析：过E作EH⊥BC于H，求出EH=CH，求出△BAP∽△HPE，得出

AB

PH

=

BP

EH

，求出EH=x，代入y=

1

2

×CP×EH求出即可．

解答：解：过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCH=90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH=

1

2

∠DCH=45°，
∵∠H=90°，
∴∠ECH=∠CEH=45°，
∴EH=CH，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B=∠H=∠APE=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°，
∴∠BAP=∠EPH，
∵∠B=∠H=90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴

AB

PH

=

BP

EH

，
∴

4

4-x+EH

=

x

EH

，
∴EH=x，
∴y=

1

2

×CP×EH
=

1

2

（4-x）•x
y=2x-

1

2

x²，
故选C．

点评：本题考查了正方形性质，角平分线定义，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能用x的代数式把CP和EH的值表示出来．