Question

如图，已知边长为4的正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC交于点H，且AE=CF=m，则四边形EBFD的面积为

16

；△AHE与△CHF的面积的和为

2m

（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析：求四边形EBFD的面积，需先证△AED≌△CFD，则四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积；求△AHE与△CHF的面积的和，需作出这两个三角形的高，并延长其中一条，证明两条高的和为正方形的边长即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=90°，
又∵AE=CF（已知）
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积=4×4=16；
（2）
如图，过H点分别作HN⊥AB，HM⊥BC，垂足分别为M，N，并延长NH交CD于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
又∵HN⊥AB，
∴HQ⊥CD，
又∵HM⊥BC，
∴HM=HQ（角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等）
∵S△AHE=

1

2

AE×NH，S△CEF=

1

2

CF×HM，AE=CF=m，HQ+HN=AB=4
∴S△AHE+S△CHF
=

1

2

﹙HQ+HM﹚×m
=

1

2

×4×m
=2m．
故答案为：16；2m．

点评：此题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定以及面积计算等知识，要灵活应用，有难度．