Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=$\frac{1}{x}$，在直线l上取点A₁，过点A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过点B₁作y轴的垂线交直线l于点A₂，过点A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过点B₂作y轴的垂线交直线l于点A₃…，这样依次得到直线l上的点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n，…若点A₁的横坐标为2，则点A₂₀₁₅的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A₁（2，-3），由A₁B₁⊥x轴得到B₁点的横坐标为2，则利用反比例函数图象上点的坐标特征得到B₁（2，$\frac{1}{2}$），同理依次得到A₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），B₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$），A₃（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），B₃（-$\frac{1}{3}$，-3），A₄（2，-3），则可发现点A₁与点A₄的坐标相同，而2015=3×671+2，于是利用规律得到点A₂₀₁₅的坐标为与点A₂的坐标相同，即A₂₀₁₅（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

解答 解：当x=2时，y=-x-1=-3，则A₁（2，-3），
∵A₁B₁⊥x轴，
∴B₁点的横坐标为2，
当x=2时，y=$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$，则B₁（2，$\frac{1}{2}$），
同理，当y=$\frac{1}{2}$时，-x-1=$\frac{1}{2}$，解得x=-$\frac{3}{2}$，则A₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
当x=-$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{3}$，则B₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
当y=-$\frac{2}{3}$时，-x-1=-$\frac{2}{3}$，解得x=-$\frac{1}{3}$则A₃（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
当x=-$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{1}{x}$=-3，则B₃（-$\frac{1}{3}$，-3），
当y=-3时，-x-1=-3，解得x=2，则A₄（2，-3），
而2015=3×671+2，
∴点A₂₀₁₅的坐标为与点A₂的坐标相同，
即A₂₀₁₅（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．