如图.过y轴上一点P(0.1)作平行于x轴的直线PB.分别交函数y1=x2与y2=$\frac{{x}^{2}}{3}$的图象于A1.B1两点.过点B1作y轴的平行线交y1的图象于点A2.再过A2作直线A2B2∥x轴.交y2的图象于点B2.依次进行下去.连接A1A2.B1B2.A2A3.B2B3.-.记△A2A1B1的面积为S1.△A2B1B2的面积为S2.△A3A2B2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，过y轴上一点P（0，1）作平行于x轴的直线PB，分别交函数y₁=x²（x≥0）与y₂=$\frac{{x}^{2}}{3}$（x≥0）的图象于A₁，B₁两点，过点B₁作y轴的平行线交y₁的图象于点A₂，再过A₂作直线A₂B₂∥x轴，交y₂的图象于点B₂，依次进行下去，连接A₁A₂，B₁B₂，A₂A₃，B₂B₃，…，记△A₂A₁B₁的面积为S₁，△A₂B₁B₂的面积为S₂，△A₃A₂B₂的面积为S₃，△A₃B₂B₃的面积为S₄，…则S₂₀₁₆=3¹⁵¹¹（$\sqrt{3}$-1）．

分析先根据点P的坐标依次求出A₁、B₁、A₂、B₂、A₃、B₃、A₄、B₄的坐标，从而求得A₁B₁、A₂B₁、A₂B₂、A₃B₂、A₃B₃、A₄B₃的长，再由三角形面积公式求出S₁、S₂、S₃、S₄、S₅的值，即可知S₃=3$\sqrt{3}$S₁、S₅=3$\sqrt{3}$S₃，…，据此规律解答即可．

解答解：如图，

当y=1时，由x²=1 （x≥0），得：x=1，即点A₁（1，1），
由$\frac{{x}^{2}}{3}$=1（x≥0），得：x=$\sqrt{3}$，即B₁（$\sqrt{3}$，1），
当x=$\sqrt{3}$时，y=x²=（$\sqrt{3}$）²=3，即A₂（$\sqrt{3}$，3），
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$-1、A₂B₁=2；
当y=3时，由$\frac{{x}^{2}}{3}$=3（x≥0），得：x=3，即B₂（3，3），
当x=3时，y=x²=3²=9，即A₃（3，9），
∴A₂B₂=3-$\sqrt{3}$、A₃B₂=6；
当y=9时，由$\frac{{x}^{2}}{3}$=9（x≥0），得：x=3$\sqrt{3}$，即B₃（3$\sqrt{3}$，9），
∴A₃B₃=3$\sqrt{3}$-3；
当x=3$\sqrt{3}$时，y=x²=（3$\sqrt{3}$）²=27，即A₄（3$\sqrt{3}$，27），
∴A₄B₃=18；
当y=27是，由$\frac{{x}^{2}}{3}$=27（x≥0），得：x=9，即B₄（9，27），
∴A₄B₄=9-3$\sqrt{3}$；
则S₁=$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{3}$-1，
S₂=$\frac{1}{2}$×2×（3-$\sqrt{3}$）=3-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-1），
S₃=$\frac{1}{2}$×6×（3-$\sqrt{3}$）=3（3-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-1），
S₄=$\frac{1}{2}$×6×（3$\sqrt{3}$-3）=9（$\sqrt{3}$-1），
S₅=$\frac{1}{2}$×18×（3$\sqrt{3}$-3）=27（3$\sqrt{3}$-3）=（3$\sqrt{3}$）²×（$\sqrt{3}$-1），
∴S₂₀₁₅=$（3\sqrt{3}）^{\frac{2015-1}{2}}$×（$\sqrt{3}$-1）=（3$\sqrt{3}$）¹⁰⁰⁷（$\sqrt{3}$-1），
S₂₀₁₆=$\sqrt{3}$•S₂₀₁₅=（3$\sqrt{3}$）¹⁰⁰⁷（$\sqrt{3}$-1）×$\sqrt{3}$=3¹⁵¹¹（$\sqrt{3}$-1），
故答案为：3¹⁵¹¹（$\sqrt{3}$-1）．