Question

已知如图，在菱形ABCD中，CO⊥BD，垂足为点O，E为BC上一点，F为AD延长线上一点，EF交CD于点G，EG=FG=DG，连接OE、OF．
（1）若DG=5，OC=8，求BD的长；
（2）求证：∠OFG=90°-

1

2

∠BEF．

Answer 1

考点：菱形的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DFG=∠CEG，再利用“角边角”证明△DFG和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=CG，从而求出CD，再利用勾股定理列式求出DO，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=2DO；
（2）延长FO交CB的延长线于H，利用“角角边”证明△ODF和△OBH全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=BH，再求出DF=CE，然后求出EH=EF=10，然后根据等腰三角形两底角相等的性质列式计算即可得证．

解答：（1）解：∵菱形的对边AD∥BC，
∴∠DFG=∠CEG，
在△DFG和△CEG中，

∠DFG=∠CEG EG=FG ∠DGF=∠CGE

，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴DG=CG，
∵DG=5，
∴CD=5×2=10，
∵CO⊥BD，
∴DO=

CD2-OC2

=

102-82

=6，
在菱形ABCD中，BC=CD，
∵CO⊥BD，
∴BD=2DO=2×6=12；

（2）证明：如图，延长FO交CB的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠DFO=∠H，
在△ODF和△OBH中，

∠DFO=∠H ∠DOF=∠BOH BO=DO

，
∴△ODF≌△OBH（AAS），
∴DF=BH，
又∵△DFG≌△CEG，
∴DF=EC，
∴BH=EC，
∴EH=BC=CD=2DG，
∵EG=FG=DG，
∴EF=2DG，
∴EH=EF，
∴∠OFG=

1

2

（180°-∠BEF）=90°-

1

2

∠BEF，
即：∠OFG=90°-

1

2

∠BEF．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．