Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若正方形的边长为

2

，正方形内是否存在一点P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB；
（2）顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可

解答： 解：（1）如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，
∴BE=BA，BA=BC，∠ABE=60°；
∵∠MBN=60°，
∴BE=BA，∠MBN=∠ABE，
∴∠MBA=∠NBE；
在△AMB与△ENB中，

BM=BN ∠MBA=∠NBE BA=BE

，
∴△AMB≌△ENB（SAS），

（2）顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．
即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF．
BM=BF•cos30°=BC•cos30°=

6

2

，
则AM=

2

+

6

2

=

2 2 + 6

2

，
∵AB=BF，∠ABF=150°
∴∠BAF=15°
既得AF=

AM

cos15°

=

3

-1．

点评：本题主要考查轴对称-路线最短问题、正方形的性质及旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识，此题难度一般．