已知:如图.抛物线y=a(x+1)2+c与y轴交于点C.与x轴交于点A.B.点A的坐标为(2.0)．(1)求该抛物线的解析式,(2)点P是线段AB上的动点.过点P作PD∥BC.交AC于点D.连接CP．当△CPD的面积最大时.求点P的坐标,(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点Q.与直线BC交于点F.点M的坐标为．问:是否存在这样的直线l.使得△OMF是等腰三角形?若存在.请求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

已知：如图，抛物线y=a（x+1）²+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接CP．当△CPD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点Q，与直线BC交于点F，点M的坐标为（-2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设P的坐标为（x，0），过D作DG⊥x轴于点G，对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B的坐标，进而表示出AB与BP，由P在线段AB上，得出x的范围，根据PD与BC平行，得到三角形APD与三角形ABC相似，由相似得比例表示出DG，根据三角形ACP面积减去三角形DAP面积表示出三角形CPD面积与x的二次函数解析式，利用二次函数性质求出三角形PCD面积最大值时x的值，即可确定出此时P的坐标；
（3）存在这样的直线l，使得△OMF是等腰三角形，理由为：在△OMF中，分三种情况考虑：①MO=MF；②OF=MF；③OM=OF，分别求出Q的坐标即可．

解答解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-4}\\{9a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
则所求抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-4；
（2）设P的坐标为（x，0），过D作DG⊥x轴于点G，如图1所示，

由$\frac{1}{2}$x²+x-4=0，得到x=-4或x=2，
∴A（2，0），B（-4，0），
∴AB=6，BP=2-x，
∵P在线段AB上，
∴-4≤x≤2，
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴$\frac{DG}{CO}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{DG}{4}$=$\frac{2-x}{6}$，
整理得：DG=$\frac{4-2x}{3}$，
∴S_△CPD=S_△CAP-S_△DAP=$\frac{1}{2}$AP•CO-$\frac{1}{2}$AP•DG=$\frac{1}{2}$（2-x）（4-$\frac{4-2x}{3}$）=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3，
∵-4≤x≤2，
∴当x=-1时，S_△PCD有最大值3，此时P（-1，0）；
（3）存在这样的直线l，使得△OMF是等腰三角形，理由为：
在△OMF中，
①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．
又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．
∴∠BMF=90°，此时F（-2，-2），
由$\frac{1}{2}$x²+x-4=-2，得到x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$，
此时Q的坐标为（-1+$\sqrt{5}$，-2）或（-1-$\sqrt{5}$，-2）；
②若OF=MF，过F作FE⊥x轴于点E，如图2所示，

由等腰三角形的性质得：OE=$\frac{1}{2}$OM=1，
∴BE=3，
∴在等腰直角△BEF中，EF=BF=3，
∴F（-1，-3），
由$\frac{1}{2}$x²+x-4=-3，得到x=-1+$\sqrt{3}$或x=-1-$\sqrt{3}$，
此时Q坐标为（-1+$\sqrt{3}$，-3）或（-1-$\sqrt{3}$，-3）；
③若OM=OF，
∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，
∴BC=4$\sqrt{2}$，
∴点O到BC的距离为2$\sqrt{2}$，而OOM=2＜2$\sqrt{2}$，
此时，不存在这样的直线l，使得△OMF为等腰三角形，
综上，存在这样的直线l，使得△OMF为等腰三角形，此时Q坐标为（-1+$\sqrt{5}$，-2）或（-1-$\sqrt{5}$，-2）或（-1+$\sqrt{3}$，-3）或（-1-$\sqrt{3}$，-3）．