Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=$3\sqrt{3}$，点E是AD的三等分点，且AE＞DE，过点E作EF∥AB交BC于F，并作射线DC和AB，点P、Q分别是射线DC和射线AB上动点，点P以每秒1个单位的速度向右平移，且始终满足∠PQA=60°，设P点运动的时间为t秒．
（1）当点Q与点B重合时，求DP的长度；
（2）设AB的中点为N，PQ与线段BE相交于点M，是否存在点P，使△BMN为等腰三角形？若存在，请直接写出时间t的值；若不存在，请说明理由．
（3）设△APQ与四边形ABFE的重叠部分的面积为S，试求S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点P作PH垂直于AB，特殊含30°的直角三角形求出HB，再求DP即可，
（2）分三种情况①当MN=BN=3时②当BM=BN=3时③当MN=MB时分别求解即可，
（3）①分三种情况当0≤t≤3时，Q在点B的左侧或重合时，②当3＜t≤5时，即H点在F点的左侧或重合时，③当t＞9，即点K在点F的右侧，分别求解即可．

解答 解：（1）如图1，过点P作PH垂直于AB，

∵∠PQA=60°，AD=3$\sqrt{3}$，
∴PH=3$\sqrt{3}$，
∴$HB=CP=\frac{PH}{tan60°}=3$，
∴DP=DC-CP=6-3=3；
（2）存在存在点P，使△BMN为等腰三角形
①如图2，当MN=BN=3时，连接DM，

∵AB=6，AD=$3\sqrt{3}$，点E是AD的三等分点，且AE＞DE，AB的中点为N，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABE=30°，
∴∠ABE=∠BMN=30°BE=4$\sqrt{3}$
作NK⊥BE，交BE于点K，MH⊥AD，
∵BN=3，
∴MK=BK=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴EM=$\sqrt{3}$，
∵△AEB∽△HEM，
∴$\frac{EM}{BE}$=$\frac{MH}{AN}$，即$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{MH}{6}$，解得MH=$\frac{3}{2}$，
同理EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴∠HDM=30°，
∴DM、MN在一条直线上，即P点与D点重合，Q点与N点重合，
∴t=0时，存在点P，使△BMN为等腰三角形，
②如图3，当BM=BN=3时，过点M作KH⊥CD，交CD于点K，AB于点H，

∵∠ABE=30°，
∴MH=$\frac{3}{2}$，BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴KM=3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，AH=6-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠PQA=60°，
∴∠MPK=60°，
∴PK=$\frac{3\sqrt{3}-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DP=AH-PK=DK-PK=6-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=3-$\sqrt{3}$，
∴当t=3-$\sqrt{3}$时，存在点P，使△BMN为等腰三角形，
③如图4，当MN=MB时，过点M作KH⊥CD，交CD于点K，AB于点H，

∵∠ABE=30°，
∴MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BH=$\frac{3}{2}$，
∴KM=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∵∠PQA=60°，
∴∠MPK=60°，
∴PK=（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）÷$\sqrt{3}$=$\frac{5}{2}$，
∴DP=AH-PK=DK-PK=$\frac{9}{2}$-$\frac{5}{2}$=2，
∴当t=2时，存在点P，使△BMN为等腰三角形，
综上所述：t=0，t=3-$\sqrt{3}$，t=2时，存在点P，使△BMN为等腰三角形，
（3）设△APQ与四边形ABFE的重叠部分的面积为S，
①如图5，0≤t≤3，Q在点B的左侧或重合时，M为DC的中点，连接MB，

S=S_△APQ-S_△KHP=$\frac{1}{2}$AQ•AD-$\frac{1}{2}$KH•DE=$\frac{1}{2}$×[6-（3-t）]×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×[6-（3-t）]×$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}t$+4$\sqrt{3}$；
②如图6，当3＜t≤5时，即H点在F点的左侧或重合时，M为DC的中点，连接MB，

△APQ与四边形ABFE的重叠部分的面积
S=S_△APQ-S_△KHP-S_△BQM=$\frac{1}{2}$AQ•AD-$\frac{1}{2}$KH•DE-$\frac{1}{2}$BQ•BM=$\frac{1}{2}$[6+（t-3）]×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$[6+（t-3）]×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（t-3）×$\sqrt{3}$（t-3）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+$\frac{13\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③如图7，当5＜t≤9，即H点在F点的右侧，K点在F点的左侧时，

△APQ与四边形ABFE的重叠部分的面积S=S_{四边形ABFE}-S_△AKE=AB•AE-$\frac{1}{2}$EK•AE=6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$t×2$\sqrt{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$+12$\sqrt{3}$；
③如图8，当t＞9，即点K在点F的右侧，

△APQ与四边形ABFE的重叠部分的面积S=S_△ABN=$\frac{1}{2}$BN•AB=$\frac{1}{2}$×6×（3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}（t-6）}{t}$）=$\frac{54\sqrt{3}}{t}$，
综上所述△APE与四边形ABFE的重叠部分的面积S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4\sqrt{3}}{3}t+4\sqrt{3}（0≤t≤3）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+\frac{13\sqrt{3}}{3}t-\frac{\sqrt{3}}{2}（3＜t≤5）}\\{-\frac{2\sqrt{3}}{3}t+12\sqrt{3}（5＜t≤9）}\\{\frac{54\sqrt{3}}{t}（t＞9）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了四边形综合题，涉及相似三角形的性质，动点问题，平行四边形的性质及三角形，四边形的面积公式，解题的关键是正确的画出图形，分情况讨论，难度较大．