Question

3．如图，已知△AOB、△COD都是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，N、M、Q、P分别为AB、CB、CD、AD的中点．求证：四边形NMQP为正方形．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据三角形中位线定理证明即可．

解答 证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∵△AOB、△COD都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∴∠EBA+∠EAB=90°，
∵N、M分别为AB、CB的中点，
∴NM=$\frac{1}{2}$AC，NM∥AC，
∵Q、P分别为CD、AD的中点，
∴QP=$\frac{1}{2}$AC，QP∥AC，
∴NM=PQ，NM∥PQ，
∴四边形NMQP为平行四边形，
∵M、Q分别为CB、CD的中点，
∴MQ=$\frac{1}{2}$BD，又NM=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴MN=MQ，
∴四边形NMQP为菱形，
∵NM∥AC，NP∥BD，
∴∠ANP=∠EBA，∠BNM=∠BAE，
∴∠ANP+∠BNM=90°，即∠MNP=90°，
∴四边形NMQP为正方形．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定定理、三角形全等的判定定理和性质定理，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．