Question

12．如图，一次函数y=-2x-2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令y=-2x-2中x、y=0求出点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式结合△OBM的面积是1求出点M的纵坐标，将其代入一次函数解析式中求出点M的坐标，根据点M的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；
（2）找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，分∠BMP₁=90°和∠BAP₂=90°两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求出BP₁、BP₂的长度，结合点B的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）令x=0，y=-2x-2=-2，
∴点A的坐标为（0，-2）；
令y=-2x-2=0，解得：x=-1，
∴点B的坐标为（-1，0）．
∵S_△OBM=$\frac{1}{2}$OB•y_M=$\frac{1}{2}$y_M=1，
∴y_M=2，
当y=-2x-2=2时，x=-2，
∴点M的坐标为（-2，2）．
∵点M在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象上，
∴m=-2×2=-4，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{4}{x}$．
（2）依照题意找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，如图所示．
当∠BMP₁=90°时，∵∠BMP₁=∠BCM，∠MBP₁=∠CBM，
∴△BMP₁∽△BCM，
∴$\frac{BC}{BM}=\frac{BM}{B{P}_{1}}$．
∵点B（-1，0），点M（-2，2），
∴点C（-2，0），
∴BC=1，BM=$\sqrt{5}$，
∴BP₁=5，
∴点P₁的坐标为（-6，0）；
当∠BAP₂=90°时，同理可由△BAP₂∽△BCM求出点P₂的坐标为（4，0）．
综上所述：点P的坐标为（-6，0）或（4，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出各边之间的比例关系是解题的关键．