Question

图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

（1）点O到弦AB的距离是 ，当BP经过点O时，∠ABA′= °；

（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：

（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．

Answer 1

（1）1、60．（2）2；（3）α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

【解析】

试题分析：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

（3）根据点A′的位置不同，分点A′在⊙O内和⊙O外两种情况进行讨论．点A′在⊙O内时，线段BA′与优弧都只有一个公共点B，α的范围是0°＜α＜30°；当点A′在⊙O的外部时，从BA′与⊙O相切开始，以后线段BA′与优弧都只有一个公共点B，α的范围是60°≤α＜120°．从而得到：线段BA′与优弧只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

试题解析：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．

∵OH⊥AB，AB=2，

∴AH=BH=．

∵OB=2，

∴OH=1．

∴点O到AB的距离为1．

②当BP经过点O时，如图1②所示．

∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，

∴sin∠OBH=．

∴∠OBH=30°．

由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．

∴∠ABA′=60°．

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，

∴OB⊥A′B．

∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，

∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．

∴OG=OB=1．

∴BG=．

∵OG⊥BP，

∴BG=PG=．

∴BP=2．

∴折痕的长为2．

（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，

Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°．

Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°．

综上所述：线段BA′与优弧只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

考点：圆的综合题．