Question

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于

点E，且AD⊥PD．
（1）求证：AB=AE；
（2）当AB：BP为何值时，△ABE为等边三角形并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD；
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD；
∵O是AB的中点，
∴OC=

1

2

AE，而OC=

1

2

AB，
∴AB=AE．

（2）当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．
理由如下：
由（1），知△ABE是等腰三角形，要使△ABE成为等边三角形，
只需∠ABE=60°（或∠EAB=60°），从而∠OCB=60°，∠BCP=∠P=30°，
故PB=BC=

1

2

AB，即当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．