Question

24、（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形ADFE的形状；
（2）在（1）中，是否存在平行四边形ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？
（5）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？

Answer 1

分析：（1）可通过证△EFB≌△ACB，得EF=AC=AD；然后证△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；从而证得四边形ADFE的两组对边分别相等，即可得出ADFE是平行四边形；
（2）由（1）知四边形ADEF是平行四边形，那么只需AEFD能构成四边形即可，所以E、A、D不能共线，即∠BAC≠60°；
（3）当ADFE是矩形时，∠EAD=90°，由此可求得∠BAC的度数；
（4）当ADFE是菱形时，AE=AD，此时AB=AC；
（5）当ADFE是正方形时，∠EAD=90°，且AE=AD，联立（3）（4）的结论即可．

解答：解：（1）∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠EBA；
∴△EFB≌△ACB；
∴EF=AC=AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形；

（2）存在，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°；
证明：当∠BAC=60°时，
∵△ABE、△ACD是等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°；
若∠BAC=60°，
则E、A、D三点共线，A、E、F、D够不成四边形；
当∠BAC≠60°时，由（1）知四边形AEFD是平行四边形；
故存在平行四边形AEFD，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°；

（3）若平行四边形AEFD是矩形，则∠EAD=90°；
∴∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°；
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；

（4）若平行四边形AEFD是菱形，则AE=AD；
此时AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；

（5）综合（3）（4）的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．

点评：熟练掌握个特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．