题目内容

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：DF=AD；
（2）过点F作FH⊥AB，垂足为点H，求证：FH+
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AC=AD；
（3）如图2，将∠ADC绕顶点D旋转一定的角度后，DC边所在的直线与BC边交于点C1（不与点B重合），DA边所在的直线与BA边的延长线交于点A1． A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1H1⊥AB，垂足为H1，试猜想F1H1、
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A1C1与AD三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
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分析：（1）根据正方形的对角线平分每一组对角∠DAC=∠ABD=45°，再根据角平分线的定义∠CAF=∠BAF，所以∠DAF=∠DFA，根据等角对等边的性质，DF=AD；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等FH=FO，又OD=
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BD=
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AC，所以FH+
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AC=DF=AD；
（3）同（1）利用三角形全等证出A1D=DF1，根据等腰直角三角形A1DC1的直角边与斜边的关系，从而得出
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A1C1=
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DF1，又等腰直角三角形F1H1B中，F1H1=
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F1B，两式相加即可得到F1H1+
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A1C1=
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DB，而AD=
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BD，所以三者存在F1H1+
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A1C1=AD．
解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠ABD=45°，精英家教网
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF，
而∠DAF=∠DAC+∠FAC，∠DFA=∠ABD+∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD；

（2）证明：∵正方形ABCD，
∴FO⊥AC，
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AC=OD，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，精英家教网
∴FH=FO，
∴FH+
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AC=FO+OD=DF=AD，
即FH+
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AC=AD．

（3）猜想：F1H1+
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A1C1=AD．
理由：∵AD=CD，∠ADC=∠A1DC1，
∴∠A1DA=∠C1DC，
∴△A1AD≌△C1CD，
∴△A1C1D是等腰直角三角形，
∵A1F1平分∠BA1C1，
∴∠BA1F1=∠F1A1C1
而∠DA1F1=45°+∠F1A1C1，∠DF1A1=45°+∠BA1F1，
∴∠DA1F1=∠DF1A1，
∴A1D=DF1，
∴
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A1C1=
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A1D=
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DF1，
又∵在等腰直角三角形F1H1B中，F1H1=
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F1B，
∴F1H1+
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A1C1=
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F1B+
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DF1=
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DB=AD．
即F1H1+
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A1C1=AD．
点评：本题主要利用角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等角对等边的性质，等腰直角三角形斜边等于直角边的
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倍的性质，综合性较强．
练习册系列答案
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25、把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上，顶点G在对角线AC，并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为а．
（1）如图②，当а=90°时，请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系；
（2）如图③，当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请举例说明；
（3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为矩形，其他条件不变，设AB=kAD（k＞0），当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．
（1）填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=
 
度；
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26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
（1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
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精英家教网如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：EF+
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AC=AB；
（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，
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A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．
课本练习拓展：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF，
①旋转中心是点
A
A
；旋转角度最少是
90
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度．
②爱动脑筋的小兵，在CD边上取点H使得∠HAE=45°，他发现：HE=BE+HD，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
（2）思维闯关：
如图2，在直角梯形ABCD中AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°BC=AB=6，E是 AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，则DE的长=
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．（小兵运用解答（1）中所积累的经验和知识做出了该题）
（3）动手闯过：
①小明有一块如图3所示的纸片，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．小明请小兵只剪一刀后把它拼成正方形，请你帮助小兵在图中画出剪拼得示意图．
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