Question

15．如图，点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（其中x＞0）上，点D在双曲线y=$\frac{-4}{x}$（ 其中x＜0）上，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，且点A、B、C、D围成的四边形为正方形．设点A的坐标为（a，0），求a的值．

Answer 1

分析 如图，作DE⊥OC于E，DF⊥x轴于F，BM⊥OA于M，先证明△CDE≌△ADF，△ADF≌△BAM，推出DE=DF，AF=BM，求出点D坐标即可解决问题．

解答 解：如图，作DE⊥OC于E，DF⊥x轴于F，BM⊥OA于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=AB，∠CDA=∠DAB=90°，
∵∠DFO=∠DEO=∠EOF=90°，
∴∠EDF=90°=∠CDA，
∴∠CDE=∠ADF，
在△CDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠ADF}\\{∠CED=∠AFD}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ADF，同理△ADF≌△BAM，
∴DE=DF，AF=BM=3，
∵点D在y=-$\frac{4}{x}$上，
∴点D坐标（-2，2），
∴DE=DF=2，
∴OA=1，
∴点A坐标（1，0）．
∴a=1．

点评 本题考查反比例函数性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．