Question

6．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调和冰箱的采购单价与销售单价如表所示：

	采购单价	销售单价
空调	-20x+1500	1760
冰箱	-10x+1300	1700

（1）若采购空调12台，且所采购的空调和冰箱全部售完，求商家的利润；
（2）厂家有规定，采购空调的数量不少于10台，且空调采购单价不低于1200元，问商家采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

Answer 1

分析 （1）当采购空调12台时，冰箱采购8台，根据“总利润=单台冰箱利润×冰箱采购数量+单台空调利润×空调采购数量”列式计算，即可得出结论；
（2）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，设总利润为W（元），根据“采购空调的数量不少于10台，且空调采购单价不低于1200元”即可得出关于x的一元一次方程组，解方程组即可得出x的取值范围，再结合二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）采购空调12台，则采购冰箱20-12=8台．
所售空调利润=[1760-（-20×12+1500）]×12=6000（元），
所售冰箱利润=[1700-（-10×8+1300）]×8=3840（元），
∴总利润=6000+3840=9840（元）．
（2）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，设总利润为W（元），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥10}\\{-20x+1500≥1200}\end{array}\right.$，解得：10≤x≤15．
W=1760x-（-20x+1500）x+1700（20-x）-[-10（20-x）+1300]（20-x）=30x²-540x+12000=30（x-9）²+9570，
∵30＞0，
∴当x＞9时，W随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15，
∴当x=15时，W取最大值，最大值=30×（15-9）²+9570=10650（元）．
答：商家采购空调15台时，获得的总利润最大，最大利润为10650元．

点评 本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）结合数量关系列式计算；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出算式（或函数关系式）是关键．