Question

7．如图，已知菱形ABCD的边AB=10，对角线BD=12，BD边上有2013个不同的点P₁，P₂，P₃…P₂₀₁₃，过P_i（i=1，2，3…）作P_iE_i于E_i，P_iE_i于F_i，P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂+P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值为19324.8．

Answer 1

分析 连接AP₁，利用等积法可求得P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=…=P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂=P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃，则可求得答案．

解答 解：如图，连接AP₁，

设AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC，BO=$\frac{1}{2}$BD=6，
在Rt△AOB中，AB=10，
∴AO=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵S_△ABD=${S}_{△AB{P}_{1}}$+${S}_{△AD{P}_{1}}$，
∴$\frac{1}{2}$BD•AO=$\frac{1}{2}$AB•P₁E₁+$\frac{1}{2}$AD•P₁F₁，
∴12×8=10（P₁E₁+P₁F₁），
∴P₁E₁+P₁F₁=9.6，
同理可求得P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=…=P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂=P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃=9.6，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂+P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃=2013×9.6=19324.8．
故答案为：19324.8．

点评 本题主要考查菱形的性质及等积法的应用，根据面积相等求得P₁E₁+P₁F₁=9.6是解题的关键．