Question

15．已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2必通过两个定点，求这两个定点坐标；
（3）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（4）若抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k=-1和k≠-1两种情况讨论方程根的情况即可；
（2）把线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2转化为y=k（x+1）（x+2）+x²-x-2，进而求出两个定点；
（3）求出方程两根，一根为-1，另一根为2-$\frac{4k}{k+1}$，根据方程两根均为整数，即可求出k的值；
（4）根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，即两根之差的绝对值为3，据此求出k的值．

解答 解：（1）当k=-1时，方程为-4x-4=0是一元一次方程，有一个实数根；
当k≠-1时，△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²≥0，此时方程有两个实数根．
综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．

（2）∵y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2，
∴y=k（x+1）（x+2）+x²-x-2，
∴当x=-1时，y=0，当x=-2时，y=4，
∴这两个定点坐标（-1，0）、（-2，4）；

（3）∵方程有一根为x=-1，
则另一根为x=$\frac{2-k}{k+1}$=2-$\frac{4k}{k+1}$，
∵方程的两个根是整数，k为正整数，
∴k=1或3；

（4）依题意得x₁-x₂=3或x₂-x₁=3，
当-1-（2-$\frac{4k}{k+1}$）=3时，
解得k=-3；
当（2-$\frac{4k}{k+1}$）-（-1）=3时，
解得k=0，
综上k=-3或0．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象上点的坐标特征以及根的判别式的知识，解答本题的关键是抛物线与坐标交点和根的判别式的关系，此题难度不大．