Question

7．如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的动点（不与点A、O重合），连结PB，作PE⊥PB交CD于点E．以下结论：①△PBC≌△PDC；②∠PDE=∠PED；③PC-PA=$\sqrt{2}$CE．其中正确的有（　　）个．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由正方形的性质得出BC=DC，∠BCP=∠DCP，由SAS即可证明△PBC≌△PDC，得出①正确；
由三角形全等得出∠PBC=∠PDE，PB=PD，再证出∠PBC=∠PED，得出∠PDE=∠PED，②正确；
证出PD=PE，得出DF=EF，作PH⊥AD于H，PF⊥CD于F，由等腰直角三角形得出PA=$\sqrt{2}$EF，PC=$\sqrt{2}$CF，即可得出③正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCP=∠DCP}&{\;}\\{PC=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC（SAS）
∴①正确；
∴∠PBC=∠PDE，PB=PD，
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDE=∠PED，
∴②正确；
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF；
作PH⊥AD于点H，PF⊥CD于F，如图所示：
则PA=$\sqrt{2}$PH=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$EF，PC=$\sqrt{2}$CF，
∴PC-PA=$\sqrt{2}$（CF-EF），
即PC-PA=$\sqrt{2}$CE，
∴③正确；
正确的个数有3个；
故选：D．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数；本题有一定难度，特别是③中，需要作辅助线运用三角函数才能得出结果．