Question

2．如图，OA是⊙M的直径，点B在x轴上，连接AB交⊙M于点C．
（1）若点A的坐标为（0，2），∠ABO=30°，求点B的坐标．
（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标可知OA的长度，根据∠ABO的度数可知，AB的长度为4，利用勾股定理即可求出OB的长度，从而求出B的坐标．
（2）连接OC、MC、证明∠OCB为直角，根据D为OB的中点，可知∠DCO=∠DOC，易知∠OCM=∠COM，所以∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°，即可求证MC⊥CD．

解答 解：（1）∵A的坐标为（0，2）
∴OA=2，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2OA=4，
∴由勾股定理可知：OB=2$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，0）
（2）连接OC，MC
∵OA是⊙M的直径，
∴∠ACO=90°，
∴∠OCB=90°，
在Rt△OCB中，D为OB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$OB=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵MC=MO，
∴∠OCM=∠COM
∵∠MOC+∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°
即MC⊥CD
∴直线CD是⊙M的切线．

点评 本题考查切线的判定，解题的关键是连接MC、OC、根据直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质求出MC⊥CD，本题属于中等题型．