已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．(1)如图1.在△ABC中.∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O．①若∠A=70°.求∠BOC的度数,②若∠A=α.求∠BOC的度数,(2)如图2.若BO.CO分别是∠ABC.∠ACB的三等分线.也就是∠OBC=$\frac{1}{3}$∠ABC.∠OCB=$\frac{1}{3}$∠ACB.∠A=α.求∠BOC的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O．
①若∠A=70°，求∠BOC的度数；
②若∠A=α，求∠BOC的度数；
（2）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，求∠BOC的度数．

分析（1）①根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；②根据角平分线的定义可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三等分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；

解答解：（1）①∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-55°=125°；
②证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，
∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）
=90°+$\frac{1}{2}$α；
（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的3等分线，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{3}$（180°-α），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-α）=120°+$\frac{1}{3}$α．

点评本题考查了角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较好，求解过程类似．