(1)如图.将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠.使点C与点E重合.BE交AD于点F.求证:BF=DF．(2)若矩形ABCD中.AB=$\sqrt{3}$.BC=5.现将矩形ABCD沿点B的直线折叠.折痕交线段AD于点H.折叠后.点C.D的对称点分别是E.G.线段BE交直线AD于点F．图2是该矩形折叠后的一种情况.请探究并解决以下问题．①当∠GEH=30°时.求FH的长,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．（1）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点E重合，BE交AD于点F，求证：BF=DF．
（2）若矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=5，现将矩形ABCD沿点B的直线折叠，折痕交线段AD（不含端点）于点H，折叠后，点C，D的对称点分别是E，G，线段BE交直线AD于点F．图2是该矩形折叠后的一种情况，请探究并解决以下问题．
①当∠GEH=30°时，求FH的长；
②当△BEH为等腰三角形时，求HD的长．

分析（1）由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF．
（2）①图1中，由翻折可知FBH=∠HBC=∠FHB所以FB=FH，设FB=FH=x，在RT△AFB利用勾股定理即可．
②情形一：如图2，BE=BH=BC=5时，在RT△ABH中，求出AH即可．情形二：如图3中，HE=BH时，只要证明△ABH≌△DCH即可．情形三：如图4中，EB=EH时，在RT△HCD中利用勾股定理即可．

解答（1）证明：由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=90°，
∴AB=DE，BE=AD，
在△ABD与△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{BE=AD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠EBD=∠ADB，
∴BF=DF；
（2）①如图1中，∵∠GEH=∠HCD=30°，∠D=90°，DC=$\sqrt{3}$，
∴DH=1，AH=AD-AD=5-1=4，
∵AD∥CB，
∴∠FBH=∠HBC=∠FHB，
∴FB=FH，设FB=FH=x，
在RT△ABF中，∵AB²+AF²=BF²，
∴（$\sqrt{3}$）²+（4-x）²=x²，
∴x=$\frac{19}{8}$．
②情形一：如图2，BE=BH=BC=5时，

在RT△ABH中，∵AB=$\sqrt{3}$，BH=5，
∴AH=$\sqrt{B{H}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{25-3}$=$\sqrt{22}$，
∴DH=AD-AH=5-$\sqrt{22}$．
情形二：如图3中，HE=BH时，

∵EH=HC，
∴HB=HC，
在RT△ABH和RT△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HB=HC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△DCH，
∴DH=AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$．
情形三：如图4中，EB=EH时，

∵EH=HC，
∴HC=EB=BC=4，
在RT△HCD中，∵HC=5，CD=$\sqrt{3}$，
∴HD=$\sqrt{H{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{22}$．