Question

如图，在△ABC中，点A，B分别在x轴的正、负半轴上（其中OA＜OB），点C在y轴的正半轴上，AB=10，OC=4，∠ABC=∠ACO．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）点D的坐标为（﹣4，0），P是该抛物线上的一个动点．

①直线DP交直线BC于点E，当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；

②连结CD，CP，若∠PCD=∠CBD，请求出点P的坐标．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】

（1）利用△BOC～△C0A得出比例式求出OA，OB，从而得出A（2，0），B（﹣8，0），再利用两根式求解析式的方法即可求解；

（2）①根据点E在直线BC上，设出点E的坐标，再根据平面坐标系中两点间的距离公式分别求出BE=，DE=，BD=4，而△BDE为等腰三角形，分三种情况：BE=BD，BE=DE，BD=DE，再求解方程，从而得到点E的坐标；

②根据∠PCD=∠CBD作出直角三角形，利用平面坐标系中互相垂直的直线的比例系数之积为﹣1，根据直线CD的解析式为y=x+4，设出直线PF的解析式为y=﹣x+4，利用锐角的三角函数求出CF=2PF，设出点P的坐标，确定出CF=，PF=，求解绝对值方程即可．

【解答】解：（1）设OA=x，则OB=10﹣x，

∴∠ABC=∠ACO，∠AOC=∠COB，

∴△BOC～△C0A，

∴=，

∴OC²=OA×OB，

∴16=x（10﹣x），

∴x=8或x=2，

∴A（2，0），B（﹣8，0），

设抛物线的解析式为y=a（x+8）（x﹣2）

∴4=（0+8）（0﹣2），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x+8）（x﹣2）=﹣x²﹣x+4．

（2）

①∵B（﹣8，0），C（0，4），

∴直线BC的解析式为y=x+4，

设E（m，m+4），且B（﹣8，0），D（0，4），

∴BE=，DE=，BD=4，

∵△BDE为等腰三角形，

Ⅰ、当BE=DE时，有=，

∴m=﹣6，

∴m+4=1，

∴E（﹣6，1），

Ⅱ、当BE=BD时，有=4，

∴m=或m=，

∴E（，），E（，﹣），

Ⅲ、当BD=DE时，有=4，

∴m=﹣或m=﹣8（舍）

∴E（﹣，），

∴E（﹣6，1），E（，），E（，﹣），E（﹣，）．

②∵C（0，4），D（﹣4，0），

∴直线CD的解析式为y=x+4，

作PF⊥CD，设直线PF的解析式为y=﹣x+4，

∴F（，），

设P（m，﹣m+b），

∴﹣m+b=﹣m²﹣m+4，

∴b=﹣m²﹣m+4，

∵P（﹣m，﹣m+b），F（，），C（0，4），

∴CF==，

PF==，

∵tan∠CBD=，∠CBD=∠PCF，

∴tan∠PCF==，

∴CF=2PF，

∴=2×，

∴m=﹣或m=﹣18，

∴b=﹣m²﹣m+4=﹣或b=﹣m²﹣m+4=﹣68，

∴P（﹣，）或P（﹣18，﹣50）．

【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有，平面坐标系中两点间的距离公式，如BE=，DE=，BD=4，相似矩形的判定和性质，求解方程，解题的关键是利用平面坐标系中两点间的距离公式和作出辅助线．