题目内容
如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结AF交边CD于点G．（1）求证：AP=PF；
（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）利用全等三角形证明．如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，构造△APQ≌△PFC；
（2）利用相似三角形求解．如答图2，过点F过FN⊥CE于点N，易证△ABP≌△PNF，则有FN=BP=x；过点F作FM⊥CD于点M，则MCNF为正方形，从而得到：MF=x，MG=2-x-y；最后利用相似三角形△ADG∽△FMG，列出比例关系式，求出表达式；
（3）与（2）相同方法求解，如答图3所示，结论不变．
（2）利用相似三角形求解．如答图2，过点F过FN⊥CE于点N，易证△ABP≌△PNF，则有FN=BP=x；过点F作FM⊥CD于点M，则MCNF为正方形，从而得到：MF=x，MG=2-x-y；最后利用相似三角形△ADG∽△FMG，列出比例关系式，求出表达式；
（3）与（2）相同方法求解，如答图3所示，结论不变．
解答：（1）证明：如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，
则有BP=BQ，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴∠AQP=135°．
∵PF⊥AP，
∴∠FPC+∠APB=90°，
又∠PAQ+∠APB=90°，
∴∠PAQ=∠FPC．
在△APQ与△PFC中，
，
∴△APQ≌△PFC（ASA）
∴AP=PF．
（2）解：如答图2，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．
过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MD-DG=CD-MC-DG=2-x-y．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴
=
，即
=
，
解得：y=
（0≤x≤2）．
（3）解：解析式变化．理由如下：
如答图3，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．
过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MC-DG-CD=x-y-2．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴
=
，即
=
，
解得：y=
．
则有BP=BQ，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴∠AQP=135°．
∵PF⊥AP，
∴∠FPC+∠APB=90°，
又∠PAQ+∠APB=90°，
∴∠PAQ=∠FPC．
在△APQ与△PFC中，
|
∴△APQ≌△PFC（ASA）
∴AP=PF．
（2）解：如答图2，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．
过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MD-DG=CD-MC-DG=2-x-y．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴
| AD |
| MF |
| DG |
| MG |
| 2 |
| x |
| y |
| 2-x-y |
解得：y=
| 4-2x |
| x+2 |
（3）解：解析式变化．理由如下：
如答图3，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．
过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MC-DG-CD=x-y-2．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴
| AD |
| MF |
| DG |
| MG |
| 2 |
| x |
| y |
| x-y-2 |
解得：y=
| 2x-4 |
| x+2 |
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形、角平分线性质等知识点，题目难度不大，重点是对几何基础知识的考查．
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