题目内容
7．如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，点E在线段AD上，把△ABE沿直线BE翻折，点A落在点A′，EA′的延长线交BC于点F，（1）如图（1），求证：FE=FB；
（2）当点E在边AD上移动时，点A′的位置也随之变化，
①当点A′恰好落在线段BD上时，如图（2），求AE的长；
②在运动变化过程中，设AE=x，CF=y，求y与x的函数关系式，试判断EF能否平分矩形ABCD的面积？若能，求出x的值；若不能，则说明理由；
（3）当点E在边AD上运动时，点D与点A′之间的距离也随之变化，请直接写出点D与点A′之间距离的变化范围．
分析 （1）证明∠AEB=∠A′EB，∠AEB=∠EBF，得到∠A′EB=∠EBF，证明结论；
（2）①根据相似三角形的判定证明△DA′E∽△DAB，得到成比例线段，代入已知的值，求出AE的长；
②根据勾股定理，得到y与x的关系式；假设EF能平分矩形ABCD的面积，进行计算，然后判断即可；
（3）根据当A′在BD上时，A′D最小，当E与A重合时，A′D最大，确定点D与点A′之间距离的变化范围．
解答 （1）证明：∵△A′BE由△ABE翻折而得∴∠AEB=∠A′EB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠A′EB=∠EBF，
∴FE=FB．
（2）解：①由（1）得：∠EA′D=90°，A′E=AE，
设AE=x，则A′E=x，ED=8-x，
在△DA′E与△DAB中，
∠A′DE=∠ADB，∠DA′E=∠A=90°，
∴△DA′E∽△DAB，
∴$\frac{A′E}{DE}$=$\frac{AB}{BD}$，
在R t△ABD中，∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∴$\frac{x}{8-x}$=$\frac{6}{10}$，
解得，x=3，
∴AE=3．
②在Rt△A′BF中，BF=8-y，
则A′F=8-y-x，又A′B=6，
由勾股定理得：62+（8-y-x）2=（8-y）2，
即y=8-$\frac{x}{2}$-$\frac{18}{x}$．
当EF能平分矩形ABCD的面积时，y=x，
则x=8-$\frac{x}{2}$-$\frac{18}{x}$，
整理得：3x2-16x+36=0，
∵-162-4×3×36＜0，
∴方程无解，
∴不存在EF平分矩形ABCD的面积．
（3）解：由题意得，当A′在BD上时，A′D最小，
由①得，A′E=AE=3，DE=8-3=5，
由勾股定理，A′D=4，
即A′D最小值为4，
当E与A重合时，A′D最大为8，
∴4≤A′D≤8．
点评 本题考查的是矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定和勾股定理的应用，掌握翻折变换的性质、找出对应相等的线段和角是解题的关键，注意各个性质定理的灵活运用．
快乐5加2金卷系列答案
反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过△OAB的顶点A，已知AO=AB，S△OAB=4，则k的值为（ ）| A． | 2 | B． | -2 | C． | 0 | D． | -$\frac{1}{2}$ |
| A． | 平均数是3 | B． | 中位数是2 | C． | 方差是2 | D． | 众数是2 |
正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．