Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B′、C′处，联结BC′与AC边交于点D，那么$\frac{BD}{DC′}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到BC=$\frac{1}{2}$AB，根据旋转的性质和平行线的判定得到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，
∴∠BAC′=90°，
∴AB∥B′C′，
∴$\frac{B′E}{EA}$=$\frac{CE}{EB}$=$\frac{B′C′}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠BAC=∠B′AC，
∴$\frac{BD}{ED}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2}{3}$，又$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{DC′}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．