题目内容
如图，在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴负半轴于A（-1，0），交y轴正半轴于B，C是x轴负半轴上一点，且CO=4AO，△ABC的面积为6．
（1）点C的坐标是
（2）求直线AB的解析式；
（3）点D是第二象限内一动点，且OD⊥BD，直线BM垂直射线CD于E，OF⊥OD交直线BM于F，当线段OD、BD的长度发生改变时，∠BDF的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．
（1）点C的坐标是
（-4，0）
（-4，0）
；点B的坐标是（0，4）
（0，4）
；（2）求直线AB的解析式；
（3）点D是第二象限内一动点，且OD⊥BD，直线BM垂直射线CD于E，OF⊥OD交直线BM于F，当线段OD、BD的长度发生改变时，∠BDF的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．
分析：（1）已知点A的坐标，得出OA=1．又因为CO=4AO，求出CA、CO的长，易求点C的坐标；由△ABC的面积为6可以求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）证明△COD≌△BOF，得出∠ODF=∠BDF=45度．可知∠BDF恒为45°．
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）证明△COD≌△BOF，得出∠ODF=∠BDF=45度．可知∠BDF恒为45°．
解答：解：（1）∵A的坐标是（-1，0），
∴OA=1；
又∵CO=4AO，
∴CO=4；
∵点C是x轴负半轴上一点，
∴C（-4，0）；
∵△ABC的面积为6，
∴
（OC-OA）•OB=6，
解得，OB=4，
∴点B的坐标是（0，4）；
故答案是：（-4，0），（0，4）；
（2）设直线AB的表达式是：y=ax+b（a、b是常数，且a≠0）．
∵A的坐标是（-1，0），由（1）知点B的坐标是（0，4），
∴
，
解得，
，
∴直线AB的解析式为：y=4x+4；
（3）当线段OD，BD的长度发生改变时，∠BDF的大小不变．
理由如下：∵BE⊥CE，OB⊥OC，
∴∠OCD=∠OBF，
∵OB⊥OC，OF⊥OD，
∴∠COD=∠BOF，
在△COD和△BOF中
，
∴△COD≌△BOF（ASA），
∴OD=OF，又OD⊥OF
∴∠ODF=45°
∵OD⊥BD，∴∠BDO=90°，
∴∠BDF=45°，
即线段OD，BD的长度发生改变时，∠BDF的大小恒为45°．
∴OA=1；
又∵CO=4AO，
∴CO=4；
∵点C是x轴负半轴上一点，
∴C（-4，0）；
∵△ABC的面积为6，
∴
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解得，OB=4，
∴点B的坐标是（0，4）；
故答案是：（-4，0），（0，4）；
（2）设直线AB的表达式是：y=ax+b（a、b是常数，且a≠0）．
∵A的坐标是（-1，0），由（1）知点B的坐标是（0，4），
∴
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解得，
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∴直线AB的解析式为：y=4x+4；
（3）当线段OD，BD的长度发生改变时，∠BDF的大小不变．
理由如下：∵BE⊥CE，OB⊥OC，
∴∠OCD=∠OBF，
∵OB⊥OC，OF⊥OD，
∴∠COD=∠BOF，
在△COD和△BOF中
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∴△COD≌△BOF（ASA），
∴OD=OF，又OD⊥OF
∴∠ODF=45°
∵OD⊥BD，∴∠BDO=90°，
∴∠BDF=45°，
即线段OD，BD的长度发生改变时，∠BDF的大小恒为45°．
点评：本题考查了一次函数综合题．解题时，借用了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式以及全等三角形的判定与性质等知识点．
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