题目内容

如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，且A(3

3

，0)，∠OAB=30°，动点P、Q同时从点O出发，同时到达A点，运动停止，点Q沿线段OA运动，速度为每秒

3

个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）求直线l的解析式；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
（3）在（2）中，若t＞1时有S=

3

3

2

，求出此时P点的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

分析：（1）通过解Rt△AOB可以求得点B的坐标，然后把点A、B的坐标代入函数解析式，借用方程组来求直线l的解析式；
（2）因为OA=3

3

，OB=3，利用勾股定理可得AB=6，进而可求出点Q由O到A的时间是3秒，点P的速度是3，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤1）时，OQ=t，OP=3t，S=

3

2

t²，当P在线段BA上运动（或1≤t≤3）时，OQ=t，AP=9-3t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD的值，利用S=

1

2

OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=

3

3

2

，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．

解答：解：（1）如图，∵A(3

3

，0)，∠OAB=30°，
∴OA=3

3

，OB=OAtan30°=3

3

×

3

3

=3．
∴B（0，3）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），则

3

3

k+b=0

b=3

，
解得

k=-

3

3

b=3

，
∴直线l的解析式为：y=-

3

3

x+3；

（2）∵OB=3，∠OAB=30°，

∴AB=2OB=6．
∵点Q由O到A的时间是

3

3

3

=3（秒），
∴点P的速度是

3+6

3

=3（单位长度/秒）．
①当P在线段OB上运动（或O≤t≤1）时，
OQ=t，OP=3t，S=

3

2

t²；
②当P在线段AB上运动（1≤t≤3）时，
OQ=t，AP=9-3t．
如图，过点P作PD⊥OA于点D，则PD∥OB，
∴△APD∽△ABO，
∴

PD

BO

=

AP

AB

，即

PD

3

=

9-3t

6

，
∴PD=

9-3t

2

．
∴S=

1

2

OQ•PD=-

3

4

t²+

9

4

t．

综上所述：S=

3

2

t2(0≤t≤1)

-

3

4

t2+

9

4

t(1≤t≤3)

；

（3）∵当t＞1时，点P在线段AB上运动，
∴当S=

3

3

2

时，

3

3

2

=-

3

4

t²+

9

4

t，
即t²-3t+2

3

=0．
∵△=9-8

3

＜0，
∴该方程无解，即不催在这样的点P．
∴也不存在符合条件的点M．

点评：本题考查了一次函数综合题．解题时，需仔细分析题意，结合图象，利用函数解析式即可解决问题．

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