Question

7．如图△ABC为等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC=2，点D为BC中点，将一含45°角的三角板的一个锐角顶点落在点D处，三角板绕点D旋转，三角板两边分别与AB边与AC边交于点E、F两点．
（1）求证：△BDE∽△CFD．
（2）△BDE和△EDF是否相似，若相似，请证明，若不相似，说明理由．
（3）若EF为x，△EDF的面积为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）找出△BDE与△CFD的对应角，其中∠BDE+∠CDF=135°，∠CDF+∠CFD=135°，得出∠BDE=∠CFD，从而解决问题；
（2）由（1）△BDE∽△CFD得出CD：BE=DF：DE，进而得出 DB：BE=DF：DE即可得出结论；
（3）由（2）得出对应边成比例，和三角形的面积公式求解即可．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴∠BDE+∠BED=135°，
∵∠EDF=45°，
又∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，
∴∠BDE+∠CDF=135°，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD（两角对应相等的两个三角形相似）；
（2）△BDE∽△DFE
理由：由（1）知，△BDE∽△CFD，
得 CD：BE=DF：DE，
而CD=BD，
∴DB：BE=DF：DE．
∵∠EBD=∠EDF，
∴△BDE∽△DFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
（3）△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，D为BC中点，
∴BD=$\sqrt{2}$．
设ED=y，
∵△BDE∽△DFE，
∴$\frac{ED}{BE}=\frac{FD}{BD}=\frac{FE}{ED}$，
即 $\frac{y}{BE}=\frac{FD}{\sqrt{2}}=\frac{x}{y}$，
解得：FD=$\frac{\sqrt{2}x}{y}$，
则S_△EDF=$\frac{1}{2}$•sin45°•ED•FD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$•ED•FD．
∵ED•FD=$\sqrt{2}$x．
∴S=$\frac{1}{2}$x

点评 此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力