Question

12．如图，△ABC的顶点A，C落在坐标轴上，且顶点B的坐标为（-5，2）将△ABC沿x轴向右平移7个单位得到△A′B′C′，点B′恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且反比例函数图象与A′C′相交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点D的坐标为（5，$\frac{4}{5}$），在x轴上存在点P，使得线段PB′与线段PD之差最大，求出点P的坐标，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移的规律得到B'（2，2），再根据点B′恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，即可得到k的值；
（2）根据|PB'-PD|≤B'D，可得当B'、D、P在同一直线上时，PB'-PD=B'D成立，此时线段PB′与线段PD之差最大，再设直线B'P解析式为y=ax+b，将D（5，$\frac{4}{5}$），B'（2，2）代入，可得直线B'P解析式，进而得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵顶点B的坐标为（-5，2），将△ABC沿x轴向右平移7个单位得到△A′B′C′，
∴B'（2，2），
∵点B′恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）如图所示，连接PB'，PD，B'D，
∵|PB'-PD|≤B'D，
∴当B'、D、P在同一直线上时，PB'-PD=B'D成立，
此时线段PB′与线段PD之差最大，
设直线B'P解析式为y=ax+b，
把D（5，$\frac{4}{5}$），B'（2，2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}=5a+b}\\{2=2a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线B'P解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{14}{5}$，
令y=0，则0=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{14}{5}$，
解得x=7，
∴P（7，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及坐标与图形变化的运用，解题时注意：把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．