Question

9．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=1，得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
即D，F两点间的距离为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．